Teoría de números aditiva

Teoría de números aditiva es una subrama de la teoría de números que concierne al estudio de subconjuntos de enteros y su comportamiento con respecto a la operación de adición. Más abstractamente, el campo de teoría de números aditiva incluye el estudio de grupos abelianos y semigrupos commutativos con una operación de adición. Teoría de números aditiva tiene conexiones con la teoría de números combinatoria y con la geometría de los números. Dos objetos principales de este estudio son el conjunto suma de dos subconjuntos A y B de elementos de un grupo abeliano G,

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\},}$

y del conjunto suma de A de orden h,

${\displaystyle hA={\underset {h}{\underbrace {A+\cdots +A} }}\,.}$

Teoría de números aditiva

Este campo está principalmente dedicado en consideración a problemas directos en (típicamente) los enteros; esto es, determinando la estructura de hA a partir de la estructura de A: por ejemplo, determinar qué elementos pueden ser representados como una suma de hA, donde A es un subconjunto fijo.^[1]​ Dos problemas clásicos de este tipo son la conjetura de Goldbach (la cual dice que 2P contiene a todos los números pares más grandes que 2, donde P es el conjunto de números primos), y el problema de Waring (el cual pregunta qué tan grande tiene que ser h para garantizar que hA_k contiene todos los enteros positivos, donde

${\displaystyle A_{k}=\{0^{k},1^{k},2^{k},3^{k},\ldots \}}$

es el conjunto de potencias k-ésimas). Muchos de estos problemas son estudiados utilizando las herramientas del método del círculo de Hardy-Littlewood y de teoría de cribas. Por ejemplo, Vinogradov probó que cada número impar suficientemente grande es la suma de tres números primos, y así que todo número par suficientemente grande es la suma de cuatro números primos. Hilbert probó que, para todo entero k > 1, cada entero no negativo es la suma de una cantidad acotada de potencias k-ésimas. En general, un conjunto A de enteros no negativos se dice ser una base de orden h si hA contiene a todos los enteros positivos, y se dice ser una base asintótica si hA contiene todo número positivo suficientemente grande. Una gran cantidad de investigación actual en esta área concierne a las propiedades de bases asintóticas generales de orden finito. Por ejemplo, un conjunto A se llama una base asintótica mínima de orden h si A es una base asintótica de orden h pero ningún subconjunto propio de A es una base asintótica de orden h. Ha sido probado que, para toda h, existen bases asintóticas mínimas de orden h, y que también existen bases asintóticas de orden h que no contienen bases asintóticas mínimas de orden h. Otra cuestión a ser considerada es qué tan pequeño puede ser el número de representaciones de n como suma de h elementos en una base asintótica. Esto es el contenido de la conjetura sobre bases aditivas de Erdős-Turán.

Véase también

• Lema de Shapley–Folkman
• Teoría de números multiplicativa

Referencias

Bibliografía

• Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley edición). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. 
• Tao, Terence; Vu, Van (2006). Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105. Cambridge University Press. 

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Teoría de números aditiva», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Additive Number Theory». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.