Relación de Parseval

En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier.

Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.

Definición

En física e ingeniería, la Relación de Parseval se suele escribir como:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}[f(t)](\alpha )|^{2}d\alpha }$

donde ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f(t)](\alpha )}$ representa la transformada continua de Fourier de ${\displaystyle f(t)}$ y ${\displaystyle \alpha }$ representa la frecuencia (en hercios) de ${\displaystyle f}$.

La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal ${\displaystyle f(t)}$ es igual a la energía total de su transformada de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f(t)]}$ a lo largo de todas sus componentes frecuenciales.

Para señales de tiempo discreto, la relación es la siguiente:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{i\phi })|^{2}d\phi }$

donde ${\displaystyle X}$ es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \phi }$ representa la frecuencia angular (en radianes) de ${\displaystyle x}$.

Por otro lado, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}$

donde ${\displaystyle X[k]}$ es la DFT de ${\displaystyle x[n]}$, ambas de longitud ${\displaystyle N}$.

Véase también

• Desigualdad de Bessel
• Identidad de Parseval

Referencias

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Marc-Antoine Parseval des Chênes» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Parseval/ .
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Relación de Parseval». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.