Proceso de Gauss

Un proceso de Gauss es un proceso estocástico que muestra en el tiempo ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in \tau }}$ de manera tal que no afecte la finitud de una combinación lineal ${\displaystyle X_{t}}$ que se tenga (o más generalmente cualquier funcional lineal de la función de muestra ${\displaystyle X_{t}}$), combinación lineal que se distribuirá normalmente.

Historia

Este concepto es llamado así en honor a Carl Friedrich Gauss, simplemente porque la distribución normal es también llamada algunas veces como gaussiana, aunque no haya sido éste el primero que la estudió. Nótese que algunos autores, como B. Simon,^[1]​ suponen que las variables ${\displaystyle X_{t}}$ tengan media cero.

Definición alternativa

Alternativamente, un proceso es gaussiano sí y sólo sí para cada conjunto finito de índices ${\displaystyle t_{1},{\ldots },t_{k}}$ del conjunto ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t_{1},{\ldots },t_{k}}=\left(X_{t_{1}},{\ldots },X_{t_{k}}\right)}$,

es un vector evaluado en una variable aleatoria gaussiana. Usando función característica de variables aleatorias, podemos formular la propiedad gaussiana como sigue: ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in \tau }}$ es gaussiana sí y sólo sí para cada conjunto finito de índices ${\displaystyle t_{1},{\ldots },t_{k}}$ existen reales positivos ${\displaystyle \sigma _{lj}}$ y ${\displaystyle \mu _{j}}$ tal que:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp {\left(i\sum _{l=1}^{k}\,t_{l}X_{t_{l}}\right)}\right]=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{l,j}\,\sigma _{lj}t_{l}t_{j}+i\sum _{l}\,\mu _{l}t_{l}\right)}}$

donde ${\displaystyle \mathbb {E} (\cdot )}$ denota la esperanza matemática y los valores ${\displaystyle \sigma _{lj}}$ y ${\displaystyle \mu _{j}}$ se puede demostrar la covarianza y media del proceso.

Ejemplos

• Un proceso de Wiener es un caso particular de proceso gaussiano.
• El movimiento browniano es un proceso físico que puede ser modelizado por un proceso de Wiener.

Referencias

Bibliografía

• Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th edición). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.  (also available online: PDF-files)
• Stark, Henry; Woods, John (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd edición). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9. 
• Durrett, R. (2000). Probability: theory and examples (4th edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-76539-0. 
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Continuous martingales and Brownian motion (Second edición). Springer-Verlag. 

Enlaces externos

• The Gaussian Processes Web Site