Problema de Plateau

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.

Planteamiento

La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:

Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.

Se dan dos puntos ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$ y ${\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$ del plano ${\displaystyle xy}$. Sea ${\displaystyle x_{1}<\;x_{2}}$. Supongamos que ${\displaystyle y=y(x)}$ es la ecuación de una curva que une los puntos ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$, es decir,

${\displaystyle y=y(x_{1})}$, ${\displaystyle y=y(x_{2})}$.

La curva gira alrededor del eje ${\displaystyle x}$ barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función ${\displaystyle y(x)}$ para la que la integral

${\displaystyle S=2\pi \ \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+y^{'2}}}\,dx}$

(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$, se denominan catenoides.

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Plateau's problem» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• https://web.archive.org/web/20070929102141/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/var.pdf (en ruso)