Número primo de Ramanujan

En matemáticas, un primo de Ramanujan es un número primo que satisface el resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan relativo a la función contador de números primos.

Orígenes y definición

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand, demostrado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894).^[1]​ Al final de las dos páginas del documento publicado, Ramanujan deduce el siguiente resultado generalizado:

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ para todo }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectivamente}}}$ (véase: A104272)

donde ${\displaystyle \pi (x)}$ es la función contador de números primos, igual a la cantidad de números primos menores o iguales a x.

El inverso de este resultado es la definición de los números primos de Ramanujan:

El enésimo primo de Ramanujan es el menor entero R_n para el que ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,}$ para todo x ≥ R_n^[2]​
En otras palabras: los números primos de Ramanujan son los menores enteros R_n para los que hay al menos n primos entre x y x/2 para todo x ≥ R_n.

Los cinco primeros números primos de Ramanujan son entonces: 2, 11, 17, 29, y 41.

Téngase en cuenta que el número entero R_n es necesariamente un número primo, dado que: ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ y, por lo tanto, ${\displaystyle \pi (x)}$ debe aumentar mediante la obtención de otro primo en x = R_n. Desde ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ puede aumentar como máximo en 1,

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.}$

Límites y fórmula asintótica

Para todo ${\displaystyle n\geq 1}$, se fijan los límites

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$

Si ${\displaystyle n>1}$, entonces también

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$

donde p_n es el enésimo número primo.

Cuando n tiende a infinito, R_n es asintótico respecto al primo 2enésimo, por ejemplo,

R_n ~ p_2n (n → ∞).

Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009),^[3]​ excepto para el límite superior R_n < p_3n que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010).^[4]​ El valor de contorno fue mejorada por Sondow, Nicholson, y Noe (2011)^[5]​ hasta convertirse en la expresión:

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}$

forma óptima para R_n ≤ c·p_3n que se convierte en una igualdad para n = 5.

En una dirección diferente, Axler^[6]​ demostró que

${\displaystyle R_{n}<p_{\lceil t\cdot n\rceil }}$

es óptima para t > 48/19, donde ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ es la función techo.

Una mejora adicional de los valores de contorno superiores fue llevada a cabo a finales de 2015 por Anitha Srinivasan y John W. Nicholson.^[7]​ Demostró que si

${\displaystyle \alpha =1+{\frac {3}{\ln n+\ln \ln n-4}}}$

a continuación, ${\displaystyle R_{n}<p_{\lfloor 2n\alpha \rfloor }}$ para todo ${\displaystyle n>241}$, donde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ es la función suelo. Para valores grandes de n, el valor de contorno es más pequeño y por lo tanto mejor que ${\displaystyle p_{\lfloor 2nc\rfloor }}$ para cualquier constante fijada ${\displaystyle c>1}$.

Generalización de los primos de Ramanujan

Dada una constante c entre 0 y 1, el enésimo c-primo de Ramanujan es definido como el menor entero R_c,n con la propiedad de que para cualquier entero x ≥ R_c,n haya al menos n primos entre cx y x, esto es, ${\displaystyle \pi (x)-\pi (cx)\geq n}$. En particular, cuando c = 1/2, el enésimo 1/2-primo de Ramanujan es igual al enésimo primo de Ramanujan: R_0.5,n = R_n.

Para c = 1/4 y 3/4, la secuencia de c-primo de Ramanujan comienza como

R_0.25,n = 2, 3, 5, 13, 17, ... A193761,

R_0.75,n = 11, 29, 59, 67, 101, ... A193880.

Es sabido^[8]​ que, para todo n y c, el enésimo c-primo de Ramanujan R_c,n existe y es en efecto primo. También, cuando n tiende a infinito, R_c,n es asintótico en relación con p_{n/(1 − c)}

R_c,n ~ p_{n/(1 − c)} (n → ∞)

donde p_{n/(1 − c)} es el ${\displaystyle \lfloor }$n/(1 − c)${\displaystyle \rfloor }$ésimo primo y ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ es la función suelo.

Corolario de los primos de Ramanujan

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ para }}i>k{\text{, donde }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,}$

es decir, p_k es el késimo primo y el nésimo primo de Ramanujan.

Esto es muy útil para demostrar que el número de números primos en el rango [p_k, 2p_i−n] es mayor que o igual a 1. Teniendo en cuenta el tamaño de los huecos entre los números primos en [p_i−n,p_k], puede verse que el hueco promedio entre primos es de ln(p_k) usando la aproximación siguiente: R_n/(2n) ~ ln(R_n).

Prueba del Corolario:

Si p_i > R_n, entonces p_i es impar y p_i − 1 ≥ R_n, y por lo tanto π(p_i − 1) − π(p_i/2) = π(p_i − 1) − π((p_i − 1)/2) ≥ n.
Así p_i − 1 ≥ p_i−1 > p_i−2 > p_i−3 > ... > p_i−n > p_i/2, y por lo tanto 2p_i−n > p_i.

Un ejemplo de este corolario:

Con n = 1000, R_n = p_k = 19403, y k = 2197, entonces i ≥ 2198 y i−n ≥ 1198. El menor i − n primo es p_i−n = 9719, y por lo tanto 2p_i−n = 2 × 9719 = 19438. El 2198ésimo primo, p_i, está comprendido entre p_k = 19403 y 2p_i−n = 19438 y es 19417.

El lado izquierdo del Primer Corolario de Ramanujan es la secuencia de números A168421; el menor primo en el lado derecho figura en A168425. La secuencia A165959 es el rango del menor primo mayor que p_k. Los valores de ${\displaystyle \pi (R_{n})\,}$ aparecen en la secuencia A179196.

El Primer Corolario Ramanujan es debido a John Nicholson.

El lema de Srinivasa^[9]​ establece que p_k−n < p_k/2 si R_n = p_k y  n > 1. Prueba: Por la minimalidad de R_n, el intervalo (p_k/2,p_k] contiene exactamente n primos y por lo tanto p_k−n < p_k/2.

Referencias