Matriz estocástica

Para una matriz cuyos elementos son estocásticos, véase matriz aleatoria

Definición

En matemáticas, una matriz estocástica (también denominada matriz de probabilidad, matriz de transición, matriz de sustitución o matriz de Markov) es una matriz utilizada para describir las transiciones en una cadena de Markov. Ha encontrado uso en la teoría de la probabilidad, en estadística y en álgebra lineal, así como en informática.

En general, una matriz estocástica se define como sigue

Decimos que una matriz cuadrada ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ dada por

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{31}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

es estocástica si

1. ${\displaystyle a_{ij}\geq 0}$
2. ${\displaystyle \sum \limits _{j}a_{ij}=1}$ para cada ${\displaystyle i}$ fijo.

El ejemplo más sencillo de una matriz estocástica es la matriz identidad de tamaño ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

pues satisface las dos condiciones.

Matriz Doblemente Estocástica

Una matriz ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ se dice que es doblemente estocástica si es una matriz estocástica y además ${\displaystyle \sum \limits _{i}a_{ij}=1}$ para cada ${\displaystyle j}$ fijo.

Vector Estocástico

De la misma manera, puede definirse un vector estocástico como un vector cuyos elementos están formados por números reales positivos que suman ${\displaystyle 1}$. Así, cada fila (o columna) de una matriz estocástica es un vector de probabilidad, también llamados vectores estocásticos.