Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función ${\displaystyle F(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!}$

donde ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!}$.

Dado que ${\displaystyle F(x,y)}$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!}$.

Método de resolución

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!}$

• Para despejar la función g se deriva ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$ con respecto a la variable dependiente de g.

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de ${\displaystyle F(x,y)}$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

${\displaystyle N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}$

${\displaystyle M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

${\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$.

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}$

${\displaystyle F(x,y)=\int N\,dy+\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}$

Factor integrante

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial ${\displaystyle \mu (x,y)\,\!}$ llamada factor integrante, tal que:

${\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)\,dx+\mu (x,y)N(x,y)\,dy=0\,\!}$ sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!}$

Cabe decir que para que ${\displaystyle \mu (x)}$ exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}}$ tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que ${\displaystyle M_{y}}$ y ${\displaystyle N_{x}}$ equivalen a las parciales de estas; ${\displaystyle {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}}$ respectivamente).

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})dx+(x^{3}+10y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}=1}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x)=e^{x}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})e^{x}dx+(x^{3}+10y)e^{x}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x^{3}y+5y^{2})e^{x}=c}$

Factor integrante sólo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (y)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+y^{2})dx+(y^{2}-x^{3})dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}={\frac {-2}{y}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (y)={\frac {1}{y^{2}}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle \left(1+3{\frac {x^{2}}{y}}\right)dx+\left(1-{\frac {x^{3}}{y^{2}}}\right)dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=x+y+{\frac {x^{3}}{y}}=c}$

Factor integrante sólo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x+y)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x+y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x+y}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3xy-y^{2})dx+(x^{2}-4y^{2}+xy)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}={\frac {1}{x+y}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x+y)=x+y}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle [(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x+y)^{2}(xy-y^{2})=c}$

Factor integrante sólo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu ({x}{y})\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*y-M*x}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x\cdot y}$

Donde ${\displaystyle M*x=}$ M·x

Cabe mencionar que:

${\displaystyle M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}$

Ejemplo: ${\displaystyle (y+x^{3}y+2x^{2})dx+(x+4xy^{4}+8y^{3})dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.y-M.x}}={\frac {-1}{xy+2}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (xy)={\frac {1}{xy+2}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle {\frac {y+x^{3}y+2x^{2}}{xy+2}}dx+{\frac {x+4xy^{4}+8y^{3}}{xy+2}}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{3}}x^{3}+y^{4}+\ln {(xy+2)}=c}$

Factor integrante sólo en función de ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*x-M*y}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}$

Ejemplo: ${\displaystyle (x-y)dx+(x+y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.x-M.y}}={\frac {-2}{x^{2}+y^{2}}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle {\frac {x-y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}+y^{2})}-\arctan {\left({\frac {x}{y}}\right)}=c}$

Bibliografía

• Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
• Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
• Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuación diferencial de primer orden