Cuasi norma

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:

${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$

para algunos ${\displaystyle K>1.}$

Definición

Una cuasi seminorma ^[1]​ en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ es una aplicación de valor real ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle X}$ que satisface las siguientes condiciones:

1. No negatividad: ${\displaystyle p\geq 0;}$
2. Homogeneidad absoluta: ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ para todos los ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s;}$
3. Existe un ${\displaystyle k\geq 1}$ real tal que ${\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}$ para todos los ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Si ${\displaystyle k=1}$, entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.

Una cuasi norma ^[1]​ es una cuasi seminorma que también satisface:

4. Definida positiva/Separación de puntos

   si ${\displaystyle x\in X}$ satisface ${\displaystyle p(x)=0,}$ entonces ${\displaystyle x=0.}$

Un par ${\displaystyle (X,p)}$ que consta de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ y una cuasi seminorma asociada ${\displaystyle p}$, se denomina espacio vectorial cuasi seminormado. Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama espacio vectorial cuasi normado.

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores de ${\displaystyle k}$ que satisfacen la condición (3) se llama multiplicador de ${\displaystyle p.}$ El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término ${\displaystyle k}$ cuasi seminorma se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a ${\displaystyle k.}$

Una norma (respectivamente, una seminorma) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es ${\displaystyle 1.}$ Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

Topología

Si ${\displaystyle p}$ es una cuasinorma en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle p}$ induce una topología vectorial en ${\displaystyle X}$ cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:^[2]​

${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}$

ya que ${\displaystyle n}$ abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama espacio vectorial topológico cuasi normado o simplemente espacio cuasi normado. .

Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.

Un espacio cuasinormado completo se llama espacio cuasi de Banach. Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

Definiciones relacionadas

Un espacio cuasinormado ${\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}$ se llama álgebra cuasi normada si el espacio vectorial ${\displaystyle A}$ es un álgebra y existe una constante ${\displaystyle K>0}$ tal que

${\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}$

para todo ${\displaystyle x,y\in A.}$

Un álgebra cuasi normada completa se llama álgebra cuasi de Banach.

Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.^[2]​

Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.

Espacios ${\displaystyle L^{p}}$ con ${\displaystyle 0<p<1}$

Los espacios ${\displaystyle L^{p}}$ para ${\displaystyle 0<p<1}$ son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para ${\displaystyle 0<p<1,}$, un espacio de Lebesgue ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ es la función constante ${\displaystyle 0}$.(Rudin, 1991, §1.47) En particular, el teorema de Hahn–Banach no se cumple para ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ cuando ${\displaystyle 0<p<1.}$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable
• Norma vectorial
• Seminorma
• Espacio vectorial topológico

Referencias

Bibliografía

• Aull, Charles E.; Robert Lowen (2001). Handbook of the History of General Topology (en inglés). Springer. ISBN 0-7923-6970-X. 
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis (en inglés). Springer. ISBN 0-387-97245-5. 
• Kalton, N. (1986). «Plurisubharmonic functions on quasi-Banach spaces». Studia Mathematica (Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences) 84 (3): 297-324. ISSN 0039-3223. doi:10.4064/sm-84-3-297-324. 
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992). Functional Analysis I: Linear Functional Analysis. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés) 19. Springer. ISBN 3-540-50584-9. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (en inglés) 8 (Second edición). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Swartz, Charles (1992). An Introduction to Functional Analysis (en inglés). CRC Press. ISBN 0-8247-8643-2.