Arcotangente

Función arcotangente
Gráfica de Función arcotangente
Definición	${\displaystyle \textstyle f{\mbox{ tal que }}f(\operatorname {tg} (x))=x}$ ${\displaystyle \forall x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Codominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Imagen	${\displaystyle \textstyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$
Función inversa	${\displaystyle \textstyle \operatorname {tg} (x)\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}\,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}\,}$
Funciones relacionadas	arcocoseno arcoseno
[editar datos en Wikidata]

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \alpha \,}$

su significado geométrico es el arco ${\displaystyle y}$ (en radianes) cuya tangente es ${\displaystyle \alpha }$.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convenio es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que ${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} (x)}$.

Algunos valores especiales

${\displaystyle \operatorname {arctg} (0)=0}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} (1)={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}}$

Límites en infinito

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}}$

Derivadas y crecimiento

${\displaystyle (\operatorname {arctg} (x))'={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

${\displaystyle (\operatorname {arctg} (x))''=-{\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}}$, que es positivo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ y negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.

Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)}$:

${\displaystyle \int \operatorname {arctg} (x)\ dx=}$ ${\displaystyle \int \operatorname {arctg} (x)\cdot 1\ dx=}$ ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ \int x\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=}$ ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)\cdot x\ -\ {\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)\ +\ C}$

Serie de Maclaurin

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1.}$

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Identidad trigonométrica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Arcotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Arcocotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.