In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung
auf dem Vektorraum
die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:
![{\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689c1a3a211628996b737c3dafdccb3b702e15b3)
für alle
.
Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.
Andere Schreibweisen
Es sei im Folgenden
![{\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765d313ce6d2cd24a550507b1bbbc2794ec71c1c)
eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf
definiert.
Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:
![{\displaystyle [x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb74cc07ffe0cb15694af74f27ca0befe095c931)
- Anders gesagt: die Abbildung
![{\displaystyle a\mapsto [x,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66194653c7a1c3a403d90582dc049ad73499c69d)
- ist eine Derivation bezüglich des Produktes
.
![{\displaystyle [[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6213a8642649de088de0ffdc1f1d34b6d4c4ba39)
- Anders gesagt: Mit der Notation
![{\displaystyle \operatorname {ad} (a)\colon V\to V,\quad x\mapsto \operatorname {ad} (a)(x)=[a,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607fd429ea542412f8bc258c73754300964b51d3)
- gilt
![{\displaystyle \operatorname {ad} ([a,b])=[\operatorname {ad} (a),\operatorname {ad} (b)];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020b606224a737fa6fc904f075994778445453ca)
- dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von
. Anders gesagt: Die Abbildung ![{\displaystyle \operatorname {ad} \colon V\to {\mathfrak {gl}}(V)=\operatorname {End} V,\quad a\mapsto \operatorname {ad} (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8d69d64843872e7a3f77c094a03d3b8bf2be7b)
- ist eine Darstellung der Lie-Algebra
auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.
Quellen
- Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.