Die Formel von Wald oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung, mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen.[1]
Es sei
eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und
eine
-wertige Zufallsvariable mit
, die von der Folge
unabhängig ist. Dann gilt[2]
.
Beweis
Weil
unabhängig von der Folge
ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von
:
,
also
.
Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich
.
Sind die
alle
wertig, so kann der Beweis auch elementar über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen.
Verallgemeinerung auf Stoppzeiten
Es sei nun
eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung
adaptiert ist, das heißt für alle
ist
-messbar. Wenn
von
unabhängig ist für alle
und
eine integrierbare Stoppzeit bezüglich
ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3]
.
Verwandte Konzepte
Ähnliche Aussagen über die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der Blackwell-Girshick-Gleichung treffen.
Einzelnachweise
- ↑ On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 15, Nr. 3, 1944, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
- ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.
- ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.