Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Sei ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ und definiere die Zählfunktion

${\displaystyle a(n):=|\{a\leq n:a\in A\}|}$

für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wobei ${\displaystyle |\cdot |}$ die Mächtigkeit bezeichnet.

Falls der Grenzwert

${\displaystyle d(A):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von ${\displaystyle A}$. Es gilt ${\displaystyle 0\leq d(A)\leq 1}$.

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

${\displaystyle D(A)=\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{a\leq n,a\in A}\lambda _{a}/\sum \limits _{x\leq n}\lambda _{x}.}$

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl ${\displaystyle \lambda _{x}=1}$ für alle ${\displaystyle x\geq 1}$.

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte ${\displaystyle \delta (A)}$, welche man durch die Wahl ${\displaystyle \lambda _{x}=1/x}$ für alle ${\displaystyle x\geq 1}$ erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\approx \log(n)+\gamma }$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

${\displaystyle \delta (A)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{\log(n)}}\sum \limits _{a\leq n,a\in A}{\frac {1}{a}},}$

falls sie existiert.

Die obere asymptotische Dichte ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ von ${\displaystyle A}$ ist durch

${\displaystyle {\overline {d}}(A)\colon =\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ die durch

${\displaystyle {\underline {d}}(A)\colon =\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

definierte untere asymptotische Dichte von ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle A}$ hat nur dann eine asymptotische Dichte ${\displaystyle d(A)}$, wenn ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$ gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}={\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)=\colon d(A)}$

und daher kann durch ihn ${\displaystyle d(A)}$ definiert werden.

• Wenn ${\displaystyle d(A)}$ für die Menge ${\displaystyle A}$ existiert, dann gilt für die bezüglich ${\displaystyle \mathbb {N} }$ komplementäre Menge ${\displaystyle {\overline {A}}}$: ${\displaystyle d({\overline {A}})=1-d(A)}$
• ${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$
• Für eine beliebige endliche Menge ${\displaystyle E}$ natürlicher Zahlen gilt: ${\displaystyle d(E)=0}$
• Für die Menge ${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$ aller Quadratzahlen gilt: ${\displaystyle d(A)=0}$
• Für die Menge ${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$ aller geraden Zahlen gilt: ${\displaystyle d(A)=1/2}$
• Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge ${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$ mit positivem ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle d(A)=1/a}$
• Für die Menge ${\displaystyle P}$ aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: ${\displaystyle d(P)=0}$
• Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte ${\displaystyle 6/\pi ^{2}=1/\zeta (2)}$ mit der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta }$.
• Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
• Die Menge ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\dotsc ,2^{2n+1}-1\right\}}$ aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\dotsb +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$

• Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org). 
• Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe). 
• Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016. 
• Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).