Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe ${\displaystyle G_{K}}$ eines Körpers ${\displaystyle K}$ ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }/K}$ gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }/K}$ von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von ${\displaystyle G_{K}}$ verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen ${\displaystyle L/K}$, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

• Für einen perfekten Körper ${\displaystyle K}$ ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }={\overline {K}}}$.
  • Wegen ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {C} }$ ist ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }=\{\mathrm {id} ,c\}}$, wobei ${\displaystyle c}$ die komplexe Konjugation bezeichnet.
  • Für ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ wurde bisher keine explizite Charakterisierung von ${\displaystyle G_{K}}$ gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem ${\displaystyle G_{K}}$ treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
  • Wenn ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ der Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist, gilt ${\displaystyle G_{\mathbb {F} _{q}}=\lim _{\longleftarrow }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =:{\hat {\mathbb {Z} }}}$, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ~(n\in \mathbb {N} )}$, die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.