-algebra (sigma-algebra, též
-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix
v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.
Definice
Systém
podmnožin množiny
nazveme
-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:
![{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8672cebae1a1dc750220285e43207740d46ed46)
- jestliže
, pak ![{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3cc57f86ab946f5196753e01ac399ce3f95fff)
- jestliže
, pak ![{\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7474c6d9788f2a4de0ddd88aa19f3abdacae40)
Vlastnosti
-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.:
, což dostaneme dosazením prázdné množiny za
v poslední části definice
-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro
platí ![{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad314659e61c0f645275bd29a5b8002e364112b5)
Použití
Koncept
-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je
-aditivní a má na prázdné množině hodnotu
. Pravděpodobnost je míra, která má na množině
hodnotu
.
Měřitelná množina
V teorii míry se dvojice
, kde
je libovolná množina a
je
-algebra na
nazývá měřitelný prostor a množiny
nazýváme měřitelné množiny.
Související články
Portály: Matematika