Brownův pohyb

Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\xi v+F'(t)}$

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): ${\displaystyle F_{f}=\xi v=6\pi \mu rv}$
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

${\displaystyle mx_{i}{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}}$

Upravíme (derivace součinu):

${\displaystyle m[{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}-{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}]=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}}$

Střední hodnota:

${\displaystyle m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-m<{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}>=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>+<F'(t)><x_{i}>}$

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:${\displaystyle <x_{i}>=0}$

Ekvipartiční teorém ve 3D:${\displaystyle 1/2mv^{2}=3/2kT}$ kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

${\displaystyle m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-3kT=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>}$

Řešení této diferenciální rovnice je (protože ${\displaystyle <x_{i}{\dot {x}}_{i}>(0)=0}$):

${\displaystyle <x_{i}{\dot {x}}_{i}>={\frac {3kT}{\xi }}(1-\exp(-\xi t/m))}$

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

${\displaystyle 1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<r^{2}(t)>=1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<x_{i}x_{i}>=<x_{i}{\dot {x}}_{i}>}$

Dostaneme:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}\int (1-\exp(-\xi t/m))\mathrm {d} t={\frac {6kT}{\xi }}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))]}$

Aproximace: ${\displaystyle t\xi /m>>1}$ odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}t={\frac {kT}{\pi \mu r}}t}$

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní ${\displaystyle 1/2mv^{2}=1/2kT}$, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

${\displaystyle <r^{2}(t)>={\frac {2kT}{\xi }}t={\frac {kT}{3\pi \mu r}}t}$

Odkazy

Související články

• Wienerův proces
• Entropie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Brownův pohyb na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Molekulový pohyb v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Seznam děl v Souborném katalogu ČR, jejichž autorem nebo tématem je Brownův pohyb

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.