Matriu de Hankel

En àlgebra lineal, una matriu de Hankel (o matriu catalèctica), anomenada després d'Hermann Hankel, és una matriu quadrada en la qual cada diagonal inclinada ascendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple,$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$De manera més general, una matriu de Hankel és qualsevol ${\displaystyle n\times n}$ matriu ${\displaystyle A}$ de la forma$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$Pel que fa als components, si el ${\displaystyle i,j}$ element de ${\displaystyle A}$ es denota amb ${\displaystyle A_{ij}}$, i suposant ${\displaystyle i\leq j}$, llavors tenim ${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$ per a tot ${\displaystyle k=0,...,j-i.}$ ^[1]

Propietats

• Qualsevol matriu de Hankel és simètrica.
• Sigui ${\displaystyle J_{n}}$ una matriu d'intercanvi ${\displaystyle n\times n}$. Si és un La matriu mxn de Hankel, ja que ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ on ${\displaystyle T}$ és un Matriu mxn de Toeplitz.
  • Si és real simètric, ja que ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ tindrà els mateixos valors propis que ${\displaystyle T}$ fins a signar.
• La matriu de Hilbert és un exemple de matriu de Hankel.
• El determinant d'una matriu de Hankel s'anomena catalecticant.^[2]

Operador Hankel

Donada una sèrie formal de Laurent$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n}}$$l'operador Hankel corresponent es defineix com

$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]],}$$Això pren un polinomi ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ i l'envia al producte ${\displaystyle fg}$, però descarta tots els poders de ${\displaystyle z}$ amb un exponent no negatiu, per donar un element a ${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$, la sèrie de potències formals amb exponents estrictament negatius. El mapa ${\displaystyle H_{f}}$ és d'una manera natural ${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$ -lineal, i la seva matriu respecte als elements ${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$ i ${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ és la matriu de Hankel$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$Qualsevol matriu de Hankel sorgeix d'aquesta manera. Un teorema degut a Kronecker diu que el rang d'aquesta matriu és finit precisament si ${\displaystyle f}$ és una funció racional ; és a dir, una fracció de dos polinomis

$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

Aplicacions de les matrius de Hankel

Les matrius de Hankel es formen quan, donada una seqüència de dades de sortida, es desitja la realització d'un espai d'estats subjacent o model de Markov ocult.^[3] La descomposició de valors singulars de la matriu de Hankel proporciona un mitjà per calcular les matrius A, B i C que defineixen la realització de l'espai d'estats.^[4] La matriu de Hankel formada a partir del senyal s'ha trobat útil per a la descomposició de senyals no estacionaris i la representació temps-freqüència.

Mètode de moments per a distribucions polinomials

El mètode dels moments aplicat a les distribucions polinomials dona com a resultat una matriu de Hankel que cal invertir per obtenir els paràmetres de pes de l'aproximació de la distribució polinòmica.

Referències