Distribució de Lévy

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució de Lévy, anomenada després de Paul Lévy, és una distribució de probabilitat contínua per a una variable aleatòria no negativa. En espectroscòpia, aquesta distribució, amb la freqüència com a variable dependent, es coneix com a perfil de van der Waals. És un cas especial de la distribució gamma inversa. És una distribució estable.^[1]

La funció de densitat de probabilitat de la distribució de Lévy sobre el domini ${\displaystyle x\geq \mu }$ és

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

on ${\displaystyle \mu }$ és el paràmetre d'ubicació i ${\displaystyle c}$ és el paràmetre d'escala. La funció de distribució acumulada és ^[2]

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right)}$

on ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ és la funció d'error complementària i ${\displaystyle \Phi (x)}$ és la funció de Laplace (CDF de la distribució normal estàndard). El paràmetre de canvi ${\displaystyle \mu }$ té l'efecte de desplaçar una quantitat la corba cap a la dreta ${\displaystyle \mu }$, i canviant el suport a l'interval [ ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \infty }$). Com totes les distribucions estables, la distribució de Levy té una forma estàndard f(x;0,1) que té la propietat següent: ^[3]

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

on y es defineix com

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

La funció característica de la distribució de Lévy ve donada per

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$ ^[4]

Aplicacions

• La freqüència de les inversions geomagnètiques sembla seguir una distribució de Lévy.
• El temps de colpejar un sol punt, a distància ${\displaystyle \alpha }$ des del punt de partida, pel moviment brownià té la distribució de Lévy amb ${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$. (Per a un moviment brownià amb deriva, aquest temps pot seguir una distribució gaussiana inversa, que té com a límit la distribució de Lévy.)
• La longitud del camí seguit per un fotó en un medi tèrbol segueix la distribució de Lévy.^[5]
• Un procés de Cauchy es pot definir com un moviment brownià subordinat a un procés associat a una distribució de Lévy.^[6]

Referències